Господа, какое это векторное произведение? а тем более смешанное...
Начнем с того что cross_product- это скаляр! а вот остальные — это векторы:
смешанное произведение — вектор коллинеарный первому,имеющий длину равную площади параллелограмма основанного на двух ост векторах.
векторное произведение — вектор, обладающий след тремя св-вами:
1.направлен перпендикулярно плоскости исходных векторов;
2.образует с ними правую тройку;
3.имеющий длину равную площади параллелограмма основанного на двух ост векторах.
ближе к сути. Я покопался и нарыл в математике следующее обоснование cross_product:
Пусть
а(ax,ay) и
b(bx,by) -два ненулевых вектора,отложенных от одной точки. Рассмотрим правую СК
Направленный угол между векторами a и b — угол по модулю равный неориентированному углу между a и b и имеющий положительный знак если кратчайший поворт от вектора a к b осуществляется против часовой стрелки.
*)уголы между (a и b) и (b и a) имеют разные знаки.
Величина (ax*by-bx*a1) называется
косым (или
псевдоскалярным) произведением векторов a и b (обозначим за {a,b}). Эта величина определяет
ориентированную площадь параллелограма посторенного на векторах a и b(знак площади тот же что и у знака угла).
*)к сведению: тангенс угла между a и b равен отношению косого произведения к скалярному, те tg W=(ax*by-bx*ay)/(ax*bx+ay*by)
приводя векторык общему началу,
cross_product вычисляет именно косое произведение векторов, затем мы берем его знак и сравниваем с остальными, таким образом
важно при выпуклых полигонах учитывать порядок следования вершин. По такому же принципу строятся алгоритмы нахождения выпуклой оболочки множества точек и алгоритмы определения порядка следования вершин выпуклого многоугольника.
Интересно то что для нулевых векторов косое произведение неопределено и существуют контр примеры неработоспособности данного алгоритма при замене < на <= поэтому необходимо (в случае необходимости,тк в данном листинге это не рассматривается) проверять на конгруэнтность вершинам и принадлежность сторонам треугольника (достаточно чтоб cross_product==0 и выполнить && с принадлежностью проэкций точки и стороны на оси координат).
Что бы зрительно представить работу алгоритма в качесве общей вершины следует брать саму проверяемую на принадлежность треугольнику точку. Те весьма красиво получается если заменить соответствующую часть алгоритма на:
bool cp1 = cross_product(x1, y1, x, y, x2, y2) < 0.0;
bool cp2 = cross_product(x2, y2, x, y, x3, y3) < 0.0;
bool cp3 = cross_product(x3, y3, x, y, x1, y1) < 0.0;
Здравствуйте, ministr, Вы писали:
M> Господа, какое это векторное произведение? а тем более смешанное...
Тут вот ссылку давали выше, сходите:
http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product.
То что вы описали — это и есть векторное произведение, в случае если векторы лежать в плоскости Oxy. Тогда действительно, векторное произведение можно рассматривать как скаляр (поскольку у него только z-компонента отлична от нуля).
А вообще же cross product — это именно векторное произведение, и никак иначе.
Здравствуйте, ministr, Вы писали:
M> Господа, какое это векторное произведение? а тем более смешанное...
M>Начнем с того что cross_product- это скаляр! а вот остальные — это векторы:
Cross product — векторное произведение
M>смешанное произведение — вектор коллинеарный первому,имеющий длину равную площади параллелограмма основанного на двух ост векторах.
Triple scalar product
M>векторное произведение — вектор, обладающий след тремя св-вами:
Cross product
А вот скаларное произведение — inner product.
Нужно носить в себе еще хаос, чтобы быть в состоянии родить танцующую звезду.
Здравствуйте, konsoletyper, Вы писали:
K>А вот скаларное произведение — inner product.
Еще называют dot product (обозначается точеой, по аналогии с cross product, обозначаемым крестиком)
--
Sergey Chadov
... << RSDN@Home 1.1.4 stable SR1 rev. 568>>
Здравствуйте, Logic Bomb, Вы писали:
LB>Неужели нет алгоритма проще? Что-то из векторной алгебры вертится в голове но не могу перенести на бумагу...
Стандартный способ — смотреть на знаки так называемых косых (или псевдоскалярных) произведений. Для двух векторов a{x1,x2} и b{x2,y2} косое произведение определено так: x1*y2-x2*y1 и равно ориентированной площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
Этот способ можно использовать для любого выпуклого многоугольника. Единственное, что надо уточнять — это порядок обхода вершин (по часовой, против часовой).
struct point
{
int x;
int y;
point(int x, int y) : x(x), y(y)
{}
point operator-(const point& p) const
{ return point(x - p.x, y - p.y); }
};
int pseudoScalarProduct(const point& p1, const point& p2)
{
return (p1.x * p2.y - p2.x * p1.y);
}
bool doesPointBelongsToNgon(const point& p,
const point ngon[], // обход против часовой стрелки
int n)
{
for(int i = 0; i < n; i++)
{
int ps = pseudoScalarProduct(ngon[(i+1)%n] - ngon[i], p - ngon[i]);
if(ps == 0)
return true; // принадлежит стороне
if(ps < 0) // если по часовой, знак >
return false; // снаружи
}
return true;
}
Этот алгоритм имеет сложность O(N), хотя есть вариант и за O(logN).
... << RSDN@Home 1.1.4 stable rev. 510>>
