Друзья! Как считать объем и площадь тела вращения вокруг прямой, я знаю! Но вот хотелось бы поиметь простую теорию объёма и площади тела вращения с исривлённой осью центральной симметрии. Начинаю вспоминать что-то про криволинейные системы координат, дивергенции и тензоры, но чувствую, что должно как-то проще решаться для именно "тел вращения" (или как тут правильнее сформулировать)!

Короче, есть некая монотонная функция f(x, y, z) в трехмерном эвклидовом пространстве, которая служит локальной центральной осью симметрии тела вращения вокруг неё. Т.е. для каждой точки с координатами (x,y,z), любая "нормаль" к точке f(x, y, z) пересекает поверхность тела на равноудалённом расстоянии ("радиусе") от этой точки. Допустим радиус такого "тела вращения" описывается функцией r(x, y, z). Т.е. мы имеем две функции: f(.) — "ось центральной симметрии", и r(.) — радиус тела вращения в данной точке f(.).

В криволинейных системах координат я это могу как-то посчитать, но слишком уж получается "навароченно"! Нет ли более простого способа расчёта площади и объёма тела для такой узкой задачи? Чего-то мне в голову, кроме "дивергентов" и "тензоров" ничего не приходит... Или не получится упростить?

Подскажите, если есть идеи? или мордой в ссылку ткните! Чего-то я уже совсем "торможу на ровном месте"...

З.Ы. Интегралов не боюсь!