Друзья! Как считать объем и площадь тела вращения вокруг прямой, я знаю! Но вот хотелось бы поиметь простую теорию объёма и площади тела вращения с исривлённой осью центральной симметрии. Начинаю вспоминать что-то про криволинейные системы координат, дивергенции и тензоры, но чувствую, что должно как-то проще решаться для именно "тел вращения" (или как тут правильнее сформулировать)!

Короче, есть некая монотонная функция f(x, y, z) в трехмерном эвклидовом пространстве, которая служит локальной центральной осью симметрии тела вращения вокруг неё. Т.е. для каждой точки с координатами (x,y,z), любая "нормаль" к точке f(x, y, z) пересекает поверхность тела на равноудалённом расстоянии ("радиусе") от этой точки. Допустим радиус такого "тела вращения" описывается функцией r(x, y, z). Т.е. мы имеем две функции: f(.) — "ось центральной симметрии", и r(.) — радиус тела вращения в данной точке f(.).

В криволинейных системах координат я это могу как-то посчитать, но слишком уж получается "навароченно"! Нет ли более простого способа расчёта площади и объёма тела для такой узкой задачи? Чего-то мне в голову, кроме "дивергентов" и "тензоров" ничего не приходит... Или не получится упростить?

Подскажите, если есть идеи? или мордой в ссылку ткните! Чего-то я уже совсем "торможу на ровном месте"...

З.Ы. Интегралов не боюсь!

Здравствуйте, maxluzin, Вы писали:

M>Короче, есть некая монотонная функция f(x, y, z) в трехмерном эвклидовом пространстве

Монотонная функция нескольких переменных!? Ну надо же написать, что ты под этим подразумеваешь — нет ведь в математике определения такого (есть только разные и неэквивалентные определения для всяких частных проблемных областей). Да и дальше что-то тоже странное написано :)

Правильно я понимаю, что задачку можно переформулировать примерно так: в 3D параметрически задана кривая c(t). По этой кривой движется центр диска переменного радиуса r(t), при этом вектор нормали, выпущенный из центра, в каждой точке касается кривой. Требуется найти заметаемый диском объём. Это нужно?
Тогда направленный объём будет таким:

Здравствуйте, watchmaker, Вы писали:

W>Здравствуйте, maxluzin, Вы писали:

M>>Короче, есть некая монотонная функция f(x, y, z) в трехмерном эвклидовом пространстве

W>Монотонная функция нескольких переменных!? Ну надо же написать, что ты под этим подразумеваешь — нет ведь в математике определения такого (есть только разные и неэквивалентные определения для всяких частных проблемных областей). Да и дальше что-то тоже странное написано

Я не знаю, как по-другому сформулировать... Да, именно так и хотелось сказать, что она монотонна на всей области определения, т.е. либо строго возрастает, либо строго убывает, без разрывов и дифференцируема всюду относительно меры Лебега.

W>Правильно я понимаю, что задачку можно переформулировать примерно так: в 3D параметрически задана кривая c(t). По этой кривой движется центр диска переменного радиуса r(t), при этом вектор нормали, выпущенный из центра, в каждой точке касается кривой. Требуется найти заметаемый диском объём. Это нужно?
W>Тогда направленный объём будет таким:
W>Image: gif.latex

Да, именно это и нужно! Спасибо!