K>Так вот, Id текущей записи я знаю, а как SQL запросом получить id следующей/предыдущей записей?
K>таблица довольно большая — ~900000 записей.

Ничего страшного (fetch какой то.. ) тут нет, стандартная вещь,
лежащая в основе всех смотрелок..
Достаточно хорошо знать select
http://www.mysql.com/doc/ru/SELECT.html

В таких случаях принято использовать

SELECT * from <your_fucking_table>
ORDER BY Id
LIMIT 1 OFFSET <your_offset>

При переходе на следующую запись просто увеличиваешь
<your_offset> на 1 и читаешь следующую запись..
Конечно, правильнее знать не текущий id, а именно номер записи в том порядке, в кортором его смотрит пользователь.. (<your_offset>)
это и ему удобнее..

Если же вы всё таки настаиваете на Id, то вам поможет

SELECT * from <your_fucking_table>
WHERE Id > <your_fucking_id>
ORDER BY Id
LIMIT 1