Я не совсем пока понял тезисы автора. С одной стороны, для любого фрактала в плоскости, как и вообще для любой фигуры в плоскости, площадь возрастает в 4 раза если увеличить длину и ширину в два раза. Тут же получается что скажем не в четыре а в три раза; кажется суть идеи в том, что площадь можно посчитать через количество пикселей, входящих в фигуру, и если для обычных фигур при уменьшении размера пикселей площадь стремится к определённой величине, то для фракталов размер пикселей можно уменьшать бесконечно, потому что с любым "зумом" всё равно фигура будет рельефная. Мне пришёл в голову вопрос — а функция Вейерштрасса не является фракталом?
Далее не совсем понятно, почему автор говорит, что размерность побережья Британии 1.21, а размерность побережья Норвегии 1.52 (то что для Норвегии больше — индикатор что его побережье более "ветвистое"). Я это тоже не очень понимаю; верно ли утверждение, что если считать длину по атомам или ещё более мелким единицам — и у Британии и у Норвегии размерность строго 1?
"Ты должен сделать добро из зла, потому что его больше не из чего сделать." Р.П. Уоррен
Здравствуйте, Khimik, Вы писали:
K>Я не совсем пока понял тезисы автора.
Видео не смотрел, попробую сам объяснить.
Все зависит от определений, что называть размерностью.
Для евклидовых пространств все однозначно, можно задать глобальную систему координат от нескольких независимых переменных.
Для римановых многообразий так сделать нельзя, но можно например сказать, что размерность риманова многообразия равна размерности касательного евклидова пространства, а можно и по другому.
Для общего случая метрического пространства даже локально понятие направления теряет смысл.
Можно сгенерить массив объектов и рандомно задать между ними расстояния — это тоже будет метрическое пространство.
Размерности как таковой нет, но можно придумать множество функций от этих расстояний, таких, что их значения для евклидова пространства будут совпадать с его размерностью.
K> Я это тоже не очень понимаю; верно ли утверждение, что если считать длину по атомам или ещё более мелким единицам — и у Британии и у Норвегии размерность строго 1?
Вот зависимость результата от того, по каким единицам считать длину — это как раз пример того, что таких функций может быть множество.
Здравствуйте, Khimik, Вы писали:
K>Посмотрел видео, в котором рассказывается, почему у фракталов размерность дробная:
K>https://youtu.be/gB9n2gHsHN4
K>Я не совсем пока понял тезисы автора. С одной стороны, для любого фрактала в плоскости, как и вообще для любой фигуры в плоскости, площадь возрастает в 4 раза если увеличить длину и ширину в два раза. Тут же получается что скажем не в четыре а в три раза; кажется суть идеи в том, что площадь можно посчитать через количество пикселей, входящих в фигуру, и если для обычных фигур при уменьшении размера пикселей площадь стремится к определённой величине, то для фракталов размер пикселей можно уменьшать бесконечно, потому что с любым "зумом" всё равно фигура будет рельефная. Мне пришёл в голову вопрос — а функция Вейерштрасса не является фракталом? K>Далее не совсем понятно, почему автор говорит, что размерность побережья Британии 1.21, а размерность побережья Норвегии 1.52 (то что для Норвегии больше — индикатор что его побережье более "ветвистое"). Я это тоже не очень понимаю; верно ли утверждение, что если считать длину по атомам или ещё более мелким единицам — и у Британии и у Норвегии размерность строго 1?
Здравствуйте, Khimik, Вы писали:
K>С одной стороны, для любого фрактала в плоскости, как и вообще для любой фигуры в плоскости, площадь возрастает в 4 раза если увеличить длину и ширину в два раза.
Это касается только "площади". Т.е. фигуры имеющие размерность меньше 2, будут иметь площадь равную нулю (например, отрезок или уединенная точка), и да, для любой фигуры площадь будет квадратично возрастать с увеличением размера (и оставаться равной нулю для отрезка).
Для фрактала на плоскости площадь тоже может быть рана нулю, а длина бесконечности, поэтому требуется другое определение меры.
K>Тут же получается что скажем не в четыре а в три раза; кажется суть идеи в том, что площадь можно посчитать через количество пикселей, входящих в фигуру, и если для обычных фигур при уменьшении размера пикселей площадь стремится к определённой величине, то для фракталов размер пикселей можно уменьшать бесконечно, потому что с любым "зумом" всё равно фигура будет рельефная.
Размерность фрактала не обязательно меньше 2. Может быть и 2.
K> Мне пришёл в голову вопрос — а функция Вейерштрасса не является фракталом?
Да. Посчитать ее резмерность и меру, типичное домашнее задание.
K>Далее не совсем понятно, почему автор говорит, что размерность побережья Британии 1.21, а размерность побережья Норвегии 1.52 (то что для Норвегии больше — индикатор что его побережье более "ветвистое"). Я это тоже не очень понимаю; верно ли утверждение, что если считать длину по атомам или ещё более мелким единицам — и у Британии и у Норвегии размерность строго 1?
А вы сперва составьте карту Норвегии, с точностью до атома...
Просто если зависимость размера пикселя от площади, (для той точности, для которой есть карты) экстраполировать до нуля, то получаться эти числа.
Для реальных физических объектов фрактальность — условность. Со сменой масштаба картина всегда меняется.
Здравствуйте, Khimik, Вы писали:
K>Я не совсем пока понял тезисы автора. С одной стороны, для любого фрактала в плоскости, как и вообще для любой фигуры в плоскости, площадь возрастает в 4 раза если увеличить длину и ширину в два раза. Тут же получается что скажем не в четыре а в три раза; кажется суть идеи в том, что площадь можно посчитать через количество пикселей, входящих в фигуру, и если для обычных фигур при уменьшении размера пикселей площадь стремится к определённой величине, то для фракталов размер пикселей можно уменьшать бесконечно, потому что с любым "зумом" всё равно фигура будет рельефная.
Есть различные способы измерения размерности фрактала. В видео, видимо, описывается вариант, когда плоскость покрывается сеткой и считается количество ячеек сетки которые заполняются фигурой. Ты верно говоришь, что площадь считается как количество пикселей входящих в фигуру. Дальше все просто: уменьшаем сторону пикселя в два раза и смотрим как изменилось количество пикселей покрытое ячейками.
1) Для прямой количество увеличилось в два раза: log(2)/log(2) = 1 — фрактальная сложность прямой
2) Для прямоугольника количество увеличилось в четыре раза: log(4)/log(2) = 2 фрактальная сложность прямоугольника
3) Для треугольника серпинского увеличилось в три раза: log(3)/log(2) =1.585 — фрактальная сложность треугольника серпинского
Логарифм в отношении нужен потому что масштабирование идет по степенному закону. Ну и для рассмотрения предельного случая мы считаем предел.
K>Мне пришёл в голову вопрос — а функция Вейерштрасса не является фракталом?
Да, является.
K>Далее не совсем понятно, почему автор говорит, что размерность побережья Британии 1.21, а размерность побережья Норвегии 1.52 (то что для Норвегии больше — индикатор что его побережье более "ветвистое"). Я это тоже не очень понимаю; верно ли утверждение, что если считать длину по атомам или ещё более мелким единицам — и у Британии и у Норвегии размерность строго 1?
Взяли несколько сеток разной размерности и посмотрели как по формуле выше как меняется отношение. Какие сетки брали я
G>Для общего случая метрического пространства даже локально понятие направления теряет смысл. G>Можно сгенерить массив объектов и рандомно задать между ними расстояния — это тоже будет метрическое пространство.
Расстояния не могут быть рандомными. Для них должны выполняться аксиомы метрики в том числе неравенство треугольника.
Здравствуйте, Khimik, Вы писали:
K>..площадь можно посчитать через количество пикселей, входящих в фигуру, и если для обычных фигур при уменьшении размера пикселей площадь стремится к определённой величине, то для фракталов размер пикселей можно уменьшать бесконечно
Если через пиксели. Найдем отношение логарифмов количества точек в прямоугольнике и в отрезке: log(rect)/log(line). Оно при повышении точности(разрешения экрана) будет стремится к 2, т.е. размерность прямоугольника вдвое больше, независимо от размеров/длин объектов (даже если отрезок бесконечный, а прямоугольник только 1см x 1см). А для зернистой картинки длины влияют.
Более строгое определение:Фрактальная размерность
Сравнивают логарифм длины линии, с логарифмом длины линейки, которой меряли. Чем короче линейка, тем большую длину можно намерять, т.к. учитывается больше деталей, изгибов.
Для такой линии расчеты довольно простые: Кривая Коха
K>... что размерность побережья Британии 1.21, а размерность побережья Норвегии 1.52 ... верно ли утверждение, что если считать длину по атомам или ещё более мелким единицам — и у Британии и у Норвегии размерность строго 1?
Либо 1, либо неопределенность, если без бесконечностей. В природе не существует настоящих фрактальных линий. Потому что при масштабе, когда надо уже залезать внутрь атомов, форма береговой линии становится неопределенной. Это условная фрактальная размерность, как если бы линию побережья можно было бы масштабировать до бесконечности и закономерность сохранялась бы.
Здравствуйте, Khimik, Вы писали:
K>Мне пришёл в голову вопрос — а функция Вейерштрасса не является фракталом?
График функции Вейерштрасса имеет фрактальный характер. K>Далее не совсем понятно, почему автор говорит, что размерность побережья Британии 1.21, а размерность побережья Норвегии 1.52 (то что для Норвегии больше — индикатор что его побережье более "ветвистое"). Я это тоже не очень понимаю; верно ли утверждение, что если считать длину по атомам или ещё более мелким единицам — и у Британии и у Норвегии размерность строго 1?
Тут мы находимся на тонкой грани между физикой и математикой.
В математике проблема фракталов в том, что привычное нам определение "длины кривой" не работает. То есть нет предела, к которому бы сходилась длина ломаной с точками, лежащими на кривой, при уменьшении длины максимального отрезка этой ломаной.
В физике проблема в том, что невозможно бесконечно уменьшать "отрезки ломаной". Чтобы решить подобную задачу, пришлось бы
а) придумать способ отличать "атомы Британии" от "атомов не-Британии"
б) полагаться на то, что эти атомы "стоят на месте" — а они не стоят.
Уйдемте отсюда, Румата! У вас слишком богатые погреба.
Здравствуйте, Sinclair, Вы писали:
S>В физике проблема в том, что невозможно бесконечно уменьшать "отрезки ломаной". Чтобы решить подобную задачу, пришлось бы S>а) придумать способ отличать "атомы Британии" от "атомов не-Британии" не согласен
какое значение имеет в рамках этой задачи возможность различения атомов?
S>б) полагаться на то, что эти атомы "стоят на месте" — а они не стоят.
согласен
Здравствуйте, MaximVK, Вы писали:
S>>а) придумать способ отличать "атомы Британии" от "атомов не-Британии" MVK>не согласен MVK>какое значение имеет в рамках этой задачи возможность различения атомов?
Наверное в том плане, где именно проводить границу. Какая песчинка на пляже относится к суше, а какая к морю?
Но, опять же, есть большая свобода выбора функции.
Можно сказать, что сушная песчинка это та, которая полностью смачивалась водой менее 50% времени за последний год.
И что эта сушность сильно усредняется по рядом находящимся песчинкам.
S>>б) полагаться на то, что эти атомы "стоят на месте" — а они не стоят. MVK>согласен
Если уж на то пошло, то и границу атома где считать, тоже много свободы выбора.
Здравствуйте, MaximVK, Вы писали:
MVK>не согласен MVK>какое значение имеет в рамках этой задачи возможность различения атомов?
Ну нам же нужно проводить линию так, чтобы с одной стороны была Британия, а с другой стороны — её не было. Вот тут и возникает вопрос классификации атомов.
S>>б) полагаться на то, что эти атомы "стоят на месте" — а они не стоят. MVK>согласен
Уйдемте отсюда, Румата! У вас слишком богатые погреба.
Здравствуйте, Sinclair, Вы писали:
K>>Мне пришёл в голову вопрос — а функция Вейерштрасса не является фракталом? S>График функции Вейерштрасса имеет фрактальный характер.
А какая у этой функции размерность?
"Ты должен сделать добро из зла, потому что его больше не из чего сделать." Р.П. Уоррен
