Здравствуйте, Аноним, Вы писали:
А>Здравствуйте, Sinus, Вы писали:
S>>Здравствуйте, Socrat, Вы писали:
S>>>Ну, у меня соображения проще: поскольку на каждой итерации вероятность сесть на бабушкино или дедушкино место одинаковая, то и суммарная вероятность одинаковая.
А>Не одинаковая, в случае если бабушка села на свое или дедушкино место. Это надо все-таки оговаривать. 
Так ведь для бабушки эти два места тоже равнозначны.
Здравствуйте, Аноним, Вы писали:
А>Здравствуйте, Sinus, Вы писали:
S>>Здравствуйте, Socrat, Вы писали:
S>>>Ну, у меня соображения проще: поскольку на каждой итерации вероятность сесть на бабушкино или дедушкино место одинаковая, то и суммарная вероятность одинаковая.
А>Не одинаковая, в случае если бабушка села на свое или дедушкино место. Это надо все-таки оговаривать.
S>>>Кстати, модификация задачи: допустим, последний человек (после дедушки) опоздал, и его не пустили, в результате одно место осталось свободно. Какова вероятность, что дедушка сядет на свое место?
S>>2/3, вроде. Если я правильно понял условие, конечно.
А>А как решил? Посчитал или с помощью рассуждений?
Посчитал из следующих соображений. Пусть в зале N мест и, для простоты дальнейших рассуждений, места в зале занумерованы от 1 до N таким образом, что i-й входящий имеет билет с номером i.
Предлагаю сразу обобщить задачу: найти вероятность того, что (N-k)-й посетитель сядет на свое место (0<=k<N). При k=1 имеем задачу, которую предложил Socrat.
Если бабушка усядется на некоторое i-ое место, где 1<i<N-k, то до прихода в зал i-го посетителя все его предшественники будут садится на свои места. i-й же посетитель, в каком то смысле,сам станет бабушкой со всеми вытекающими последствиями.
Таким образом, можно заставить бабушку сразу выбрать себе место из k+2 равновероятных вариантов: i=1 или N-k<=i<=N.
С i=1 все понятно (P=1/(k+2)). В остальных случаях мы можем не обращать внимание на посетителей с номерами < N-k.
Итак, можно изначально считать, что N=к+2.
Дальше все просто: искомая вероятность равна вероятности того, что бабушка не сядет на (N-k)-ое место (оно же второе), то есть, P=(k+1)/(к+2).
Для k=0 имеем N=2, P=1/2 — исходная задача.
Для k=1 имеем N=3, P=2/3 — задача уважаемого Сократа.
Здравствуйте, Аноним, Вы писали:
А>Здравствуйте, Sinus, Вы писали:
А>А как решил? Посчитал или с помощью рассуждений?
А вот еще одно интересное наблюдение: количество всевозможных рассадок посетителей, удовлетворяющих условию исходной задачи, равно 2^(N-1), где N — количество мест в зале. По-прежнему имеется ввиду полный аншлаг.
Кто-нибудь сможет это доказать?
