Делим шоколадный торт - Этюды для программистов

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

К>>М.Гарднер (кажется) давал такую задачу:
К>>

К>>Плоский квадратный торт, облитый шоколадом (сверху и с боков). Как его разрезать на 5 частей, так, чтобы шоколад достался всем поровну?

Разделить периметр на 5 равных частей, и провести из этих точек разрезы в центр торта
площадь шоколада на боковых стенках одинаковая — очевидно, сверху — тоже одинаковая 9расстояние от центра торта до любой стороны * 1/5 периметра)

Или надо резать при помощи циркуля и линейки?

Здравствуйте, nikholas, Вы писали:

N>Разделить периметр на 5 равных частей, и провести из этих точек разрезы в центр торта
N>площадь шоколада на боковых стенках одинаковая — очевидно, сверху — тоже одинаковая (расстояние от центра торта до любой стороны * 1/5 периметра)

В общем случаае (для многогранных тортов и полчищ гостей)
Разрежем торт (вид сверху) на треугольники по числу сторон (т.е. от центра торта до углов). И развернем.
Получается ряд треугольников с одинаковой высотой (h).
Если теперь мы разрежем любой треугольник, проведя отрезок от вершины к основанию, то площади кусков будут равны h*a(где a — длина части основания).
Стало быть, если мы сложим основания (это бывший периметр торта),
полученную длину разделим на число гостей,
и каждому отрежем кусок этой длины (кому-то достанется два кусочка с данной суммарной длиной оснований)
то все будут щасливы.

Решение пригодно для любого торта-призмы, в основании которой — фигура, в которую можно вписать окружность.

N>Или надо резать при помощи циркуля и линейки?

Резать торт линейкой — уж лучше пальцАми ковырять.

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

N>>Я под плоским понимаю тот факт, что верхняя поверхность торта является плоской

К>Именно это и имелось в виду. Что там всяких плюшек-рюшек-завитушек нет.

Вот так всегда... А как красиво все получалось...

Ладно. Разовьем мысль.

Представим себе шоколад на торте в виде развертки.

Если высота равна стороне, то тогда, разрезая по линиям "сгиба",

мы имеем пять одинаковых шоколадных квадрата.

Если высота меньше — разрез забирает часть верхней плоскости
(как в предыдущем варианте)

Если высота больше стороны, то разрез проходит по боковой стороне.

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

К>Здравствуйте, nikholas, Вы писали:

N>>Я под плоским понимаю тот факт, что верхняя поверхность торта является плоской

К>Именно это и имелось в виду. Что там всяких плюшек-рюшек-завитушек нет.

Разрезаем торт ножом на 25 равных сверху частей — 5х5. Это если такие разрезы разрешены, если нет, то хорошо бы уточнить, как можно резать.
В итоге у нас получилось 3 вида кусочков. У — угловой имеющий две боковые грани. Б — боковой имеющий одну боковую грань. С-средний без боковых граней.
Делим так:
2У+3С
1У+2Б+2С
1У+2Б+2С
4Б+1С
4Б+1С

Легко проверить, что в каждой доле по 5 квадратов с верхней грани торта равных между собой и по 4 боковых прямоугольника тоже равных между собой.

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

К>Решение пригодно:
К>- для призмы, в основание которой можно вписать окружность, а боковая поверхность пенпердикулярна основанию
К>- для пирамиды с таким же основанием, высота которой проходит через центр вписанной окружности
К>- для пирамиды, усеченной плоскостью, параллельной основанию
К>(призма является вырожденным случаем усеченной пирамиды)
К>

Это все конечно здорово

Только решение (и твое и мое) работает только, как это ни прискорбно, для случая, когда толщина слоя шоколада нулевая. Иначе, тем кто получит куски с вершиной, шоколада достанется несколько больше, а именно в обьеме высота_торта*толщина_шоколада^2.

Здравствуйте, WeCom, Вы писали:

WC>Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

К>>Здравствуйте, nikholas, Вы писали:

N>>>Я под плоским понимаю тот факт, что верхняя поверхность торта является плоской

К>>Именно это и имелось в виду. Что там всяких плюшек-рюшек-завитушек нет.

WC>Разрезаем торт ножом на 25 равных сверху частей — 5х5. Это если такие разрезы разрешены, если нет, то хорошо бы уточнить, как можно резать.
WC>В итоге у нас получилось 3 вида кусочков. У — угловой имеющий две боковые грани. Б — боковой имеющий одну боковую грань. С-средний без боковых граней.
WC>Делим так:
WC>2У+3С
WC>1У+2Б+2С
WC>1У+2Б+2С
WC>4Б+1С
WC>4Б+1С

WC>Легко проверить, что в каждой доле по 5 квадратов с верхней грани торта равных между собой и по 4 боковых прямоугольника тоже равных между собой.

Есть еще один вариант — изрубить весь торт в капусту — а потом делить по весу

Неэстетично, — скажете Вы, — зато дешево, надежно и практично

09.07.03 12:48: Ветка выделена из темы Двенадцатислотная центрифуга / Браво!
Задача про торт — в хвосте сообщения.
— К

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

LCR>>Легко: допустим мы решили задачу для 12-ти слотов и 5 чашечек. Давайте решим теперь задачу для n слотов и m чашечек — задача существенно усложнилась. Теперь заметим, что в оригинальной задаче предполагается равномерное распределение слотов. Тогда давайте решим для произвольного набора неотрицательных n чисел, дающих в сумме 2*Pi.

Основная проблема была в том, чтобы в одном слоте не располагалось более одной чашки. Если же числа — нецелые — то всё просто.

Достаточно симметрично пошевелить пару чашек.

LCR>>Теперь вы серьёзно озадачены — можете писать диссер.

К>Подкидываю концепцию для диссера: если число N слотов имеет делители n1, n2, ...nk (значит, имеются осевые симметрии...)
К>Число M чашечек можно записать как m1*n1 + m2*n2 + ... + mk*nk...
К>(Можно еще уточнить — какова природа делителей ni и коэффициентов mi

)

Отдельная тема дисера — проблема наложения чашек.

Например, 11 чашек и 12 слотов. Решение якобы существует: — три вложенные центрифуги по 3, 4 и 4 чашки.

К>

К>Когда математику предлагают решить задачу об устойчивости стола на трех ножках, он быстро находит решение для 1 и оо ножек, а затем безуспешно пытается обобщить.

К>М.Гарднер (кажется) давал такую задачу:
К>

К>Плоский квадратный торт, облитый шоколадом (сверху и с боков). Как его разрезать на 5 частей, так, чтобы шоколад достался всем поровну?

К>Ключ к задаче — ее усложнение: как разрезать пятиугольный торт на 7 частей?

Неконструктивное решение (о существовании) пойдёт?

Размечаем разрезы так, чтобы 6 (N-1) частей имели очень малую, но одинаковую площадь шоколада, 7-я (N-я)- всё остальное. Плавно увеличиваем площади первых 6-ти (N-1) (с сохранением равенства площадей). Площадь седьмой (N-й) при этом уменьшается. Когда-нибудь все площади сравняются.

Здравствуйте, mrhru, Вы писали:

К>>

К>>Плоский квадратный торт, облитый шоколадом (сверху и с боков). Как его разрезать на 5 частей, так, чтобы шоколад достался всем поровну?

К>>Ключ к задаче — ее усложнение: как разрезать пятиугольный торт на 7 частей?

M>Неконструктивное решение (о существовании) пойдёт?

M>Размечаем разрезы так, чтобы 6 (N-1) частей имели очень малую, но одинаковую площадь шоколада, 7-я (N-я)- всё остальное. Плавно увеличиваем площади первых 6-ти (N-1) (с сохранением равенства площадей). Площадь седьмой (N-й) при этом уменьшается. Когда-нибудь все площади сравняются.

Есть очень простое и очень конструктивное решение. "С помощью ножа и поллитры".
Твори, выдумывай, пробуй

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

К>>>

К>>>Плоский квадратный торт, облитый шоколадом (сверху и с боков). Как его разрезать на 5 частей, так, чтобы шоколад достался всем поровну?

К>Есть очень простое и очень конструктивное решение. "С помощью ножа и поллитры".
К>Твори, выдумывай, пробуй

Ок. Пусть высота торта H. Длина стороны пусть будет L.

Итого шоколада на торте S = L*L + 4*H*L = L*( L + 4*H )

Одна порция будет содержать S/5

L*L        4L 
--- + H * ---  --> одна пятая верхнего слоя шоколада + одна пятая периметра
 5         5

Режем так: делим периметр на пять равных частей и проводим линии разреза к центру...

Тут я задумался... фигня выходит... оп-па nikholas такое же предложил...

А мы пойдем другим путем! Сложно это: делить периметр на 5 частей

и проводить разрезы к центру, соблюдая равенство площадей кусков.

Сделаем так. Четыре куска будут располагаться по сторонам квадрата и содержать периметр.

Сверху разрезы идут по диагоналям, но не доходят до центра: в центре пятый кусок -- квадратный.

Т.е. 4 куска сверху — трапеции и в центре квадрат.

А так уже проще намного просчитать равенство кусков!

Здравствуйте, UGN, Вы писали:

UGN>Сделаем так. Четыре куска будут располагаться по сторонам квадрата и содержать периметр.

UGN>Сверху разрезы идут по диагоналям, но не доходят до центра: в центре пятый кусок -- квадратный.

UGN>Т.е. 4 куска сверху — трапеции и в центре квадрат.

UGN>А так уже проще намного просчитать равенство кусков!

Для примера: высота торта — 50 см, габариты — 30см. х 30 см.
Не хотел бы я получить верхний кусок

Здравствуйте, nikholas, Вы писали:

N>Для примера: высота торта — 50 см, габариты — 30см. х 30 см.
N>Не хотел бы я получить верхний кусок

Условие:

Плоский квадратный торт, облитый шоколадом...

Здравствуйте, UGN, Вы писали:

UGN>Здравствуйте, nikholas, Вы писали:

N>>Для примера: высота торта — 50 см, габариты — 30см. х 30 см.
N>>Не хотел бы я получить верхний кусок

UGN>

UGN>Условие:
UGN>

UGN>Плоский квадратный торт, облитый шоколадом...

Если торт действительно плоский, то площадью боковых поверхностей можно пренебречь. Как впрочем и объемом шоколада наверху, т.к. при отсутствии у него одного из измерений его объем также равен 0, и делить нечего. Или есть какое-нибудь другое определение плоскости? Ссылочку в студию...

Я под плоским понимаю тот факт, что верхняя поверхность торта является плоской

Здравствуйте, nikholas, Вы писали:

N>Я под плоским понимаю тот факт, что верхняя поверхность торта является плоской

Именно это и имелось в виду. Что там всяких плюшек-рюшек-завитушек нет.

Здравствуйте, UGN, Вы писали:

UGN>Представим себе шоколад на торте в виде развертки.

+3 за настойчивость и самобытность.

UGN>Если высота равна стороне, то тогда, разрезая по линиям "сгиба",

UGN>мы имеем пять одинаковых шоколадных квадрата.

UGN>Если высота меньше — разрез забирает часть верхней плоскости
UGN>(как в предыдущем варианте)

UGN>Если высота больше стороны, то разрез проходит по боковой стороне.

А тортовый мякиш? Чтобы и его по справедливости?

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

К>Решение пригодно для любого торта-призмы, в основании которой — фигура, в которую можно вписать окружность.

Немаловажным ограничением является необходимость нахождения вершины призмы над центром окружности

Здравствуйте, nikholas, Вы писали:

К>>Решение пригодно для любого торта-призмы, в основании которой — фигура, в которую можно вписать окружность.

N>Немаловажным ограничением является необходимость нахождения вершины призмы над центром окружности

??? Как это — вершина призмы? Верхнее основание?
Или ты имеешь в виду пирамиду...

Решение пригодно:
— для призмы, в основание которой можно вписать окружность, а боковая поверхность пенпердикулярна основанию
— для пирамиды с таким же основанием, высота которой проходит через центр вписанной окружности
— для пирамиды, усеченной плоскостью, параллельной основанию
(призма является вырожденным случаем усеченной пирамиды)

	От:	nikholas
	Дата:	09.07.03 09:52
	Оценка:	30 (2)

	От:	Кодт
	Дата:	09.07.03 11:02
	Оценка:	21 (2)

	От:	UGN
	Дата:	09.07.03 10:56
	Оценка:	15 (1)

	От:	WeCom
	Дата:	09.07.03 11:18
	Оценка:	10 (1)

	От:	WeCom
	Дата:	09.07.03 13:07
	Оценка:	1 (1)