Ну никак не получается решить:

SQRT(5 - x) = x^2 - 5

Графическим способом я убедился, что существуют два решения. Только вот как их найти аналитически? Думаю, надо сделать удачную подстановку, но какую?

Помогите решить, если не сложно.

С уважением,
Olegator

Здравствуйте, Olegator, Вы писали:

O>Ну никак не получается решить:

O>

O>SQRT(5 - x) = x^2 - 5
O>

O>Графическим способом я убедился, что существуют два решения. Только вот как их найти аналитически? Думаю, надо сделать удачную подстановку, но какую?

O>Помогите решить, если не сложно.

O>С уважением,
O>Olegator

Возведи в квадрат обе части и дальше думай

Здравствуйте, Neo09, Вы писали:

N>Возведи в квадрат обе части и дальше думай

Совсем меня за дурака держишь? Думаешь, это не то, что приходит первым на ум?

Но что с того:

5 - x = x^4 - 10x^2 + 25

Как это решать?

С уважением,
Olegator

Здравствуйте, Olegator, Вы писали:

O>Здравствуйте, Neo09, Вы писали:

N>>Возведи в квадрат обе части и дальше думай

O>Совсем меня за дурака держишь? Думаешь, это не то, что приходит первым на ум?

O>Но что с того:
O>

O>5 - x = x^4 - 10x^2 + 25
O>

O>Как это решать?

O>С уважением,
O>Olegator

Находишь какое-нибудь решение например x = x0, дальше делишь этот полином на (x — x0).

Здравствуйте, Neo09, Вы писали:

N>Находишь какое-нибудь решение например x = x0, дальше делишь этот полином на (x — x0).

Нельзя ли эту часть поподробней? А то я что-то не очень секу...

С уважением,
Olegator

Здравствуйте, Olegator, Вы писали:

O>Здравствуйте, Neo09, Вы писали:

N>>Находишь какое-нибудь решение например x = x0, дальше делишь этот полином на (x — x0).

O>Нельзя ли эту часть поподробней? А то я что-то не очень секу...

Если уравнение P(x) (P(x) — полином) имеет рациональное решение, то его следует искать среди чисел вида +/-(p/q), где p — делитель свободного члена, q — делитель старшего коэффициента. Если среди этих чисел решения не нашлось, то рациональных корней нет.
Вроде так, если я не забыл школу...

Ну а если мы нашли один корень, то делим P(x) на (x-x0) и решаем дальме. Этим самым мы понижаем степень уравнения.

вообще говоря для уравнений до 4ой степени включительно (к которому сводится и это) есть готовые формулы, но они громоздкие.
мэйпл спасет отца российской демократии.

Здравствуйте, <Аноним>, Вы писали:

А>вообще говоря для уравнений до 4ой степени включительно (к которому сводится и это) есть готовые формулы, но они громоздкие.

Серьезно? А можно глянуть?

Здравствуйте, Neo09, Вы писали:

N>Находишь какое-нибудь решение например x = x0, дальше делишь этот полином на (x — x0).

решений только 2, целых среди них нет
придется громозкими формулами брать

Здравствуйте, Olegator, Вы писали:

O>Ну никак не получается решить:

O>

O>SQRT(5 - x) = x^2 - 5
O>

O>Графическим способом я убедился, что существуют два решения. Только вот как их найти аналитически? Думаю, надо сделать удачную подстановку, но какую?

O>Помогите решить, если не сложно.

O>С уважением,
O>Olegator

(x^2-x-5)(x^2+x-4)=0

Здравствуйте, ilnar, Вы писали:

I>Здравствуйте, Neo09, Вы писали:

N>>Находишь какое-нибудь решение например x = x0, дальше делишь этот полином на (x — x0).

I>решений только 2, целых среди них нет
I>придется громозкими формулами брать

Любой полином всегда можно разложить на произведение полиномов второй степени над полем <R>. Например методом неопределенных коеффициентов

Кстати, не согласен с твоей оценкой в отношении ilnar.
Решения действительно 2.
D(x) = (-oo; -5]

Здравствуйте, DrZubr, Вы писали:

DZ>Кстати, не согласен с твоей оценкой в отношении ilnar.
DZ>Решения действительно 2.
DZ>D(x) = (-oo; -5]

моё несогласие относилось к утверждению: "придется громозкими формулами брать".
всегда полиномы с целыми коеффициентами тривиально разбиваются на множители, просто сразу и не думая.

Здравствуйте, DrZubr, Вы писали:

DZ>Здравствуйте, <Аноним>, Вы писали:

А>>вообще говоря для уравнений до 4ой степени включительно (к которому сводится и это) есть готовые формулы, но они громоздкие.

DZ>Серьезно? А можно глянуть?

здесь

Здравствуйте, Olegator, Вы писали:

O>Ну никак не получается решить:

O>

O>SQRT(5 - x) = x^2 - 5
O>

O>Графическим способом я убедился, что существуют два решения. Только вот как их найти аналитически? Думаю, надо сделать удачную подстановку, но какую?

O>Помогите решить, если не сложно.

O>С уважением,
O>Olegator

Да, данное уравнение решается при помощи замены
Правда замены я уже так навскидку не вспомню.
Но будем ипровизиоровать при решении задачи:
Да поможет ал-Каши):
Он получил приблизительное равенство, которое я приведу в упрощенном виде применимом для решения данной задачи:
sqrt(sqr(a) + b) = a + b/(sqr(a+1)-sqr(a))
Если ты проведешь следующую подстановку
a = sqrt(5)
b = -x
и воспользуешься данным выражением, то сведешь решение задачи к решению квадратичного уравнения.

Здравствуйте, DrZubr, Вы писали:

DZ>Решения действительно 2.

Подтверждено графически.

С уважением,
Olegator

Здравствуйте, Cruelty, Вы писали:

C>(x^2-x-5)(x^2+x-4)=0

Класс! Как до этого дошли?

С уважением,
Olegator

Здравствуйте, Olegator, Вы писали:

O>Здравствуйте, Cruelty, Вы писали:

C>>(x^2-x-5)(x^2+x-4)=0

O>Класс! Как до этого дошли?

Вроде бы, правильнее так (если нигде не ошибся):

(x^2 + x - 5)(x^2 - x - 4) = 0

Это вытекает из следующих соображений: левая ветвь параболы y=x^2-5 симметрична y=SQRT(5-x) относительно прямой y=-x; значит, точка пересечения этой ветви с y=SQRT(5-x) лежит на прямой y=-x. Имеем систему:

y = x^2 - 5
y = -x

Т.е. меньший корень x^2+x-5=0 является корнем исходного уравнения. Дальше просто:

SQRT(5 - x) = x^2 - 5;
5 - x = x^4 - 10x^2 + 25;

и делим "столбиком" x^4-10x^2+x+20 на x^2+x-5. Получаем:

(x^2 + x - 5)(x^2 - x - 4) = 0

nikakih fantazij -- metod neopredelennyh koefficientov i poluchaetsja sistema 4x4 dlja nahozhdenija koefficientov iskomyh polinomov vtoroj stepeni

Здравствуйте, Cruelty, Вы писали:

C>nikakih fantazij -- metod neopredelennyh koefficientov i poluchaetsja sistema 4x4 dlja nahozhdenija koefficientov iskomyh polinomov vtoroj stepeni

Это все понятно и очевидно.
Но вот с симметрией графиков, это красивее.
Я вот например, не обратил на это внимание сразу...

Здравствуйте, Sentara, Вы писали:

S>Вроде бы, правильнее так (если нигде не ошибся):
S>

S>(x^2 + x - 5)(x^2 - x - 4) = 0
S>

Да, действительно.

S>Это вытекает из следующих соображений: левая ветвь параболы y=x^2-5 симметрична y=SQRT(5-x) относительно прямой y=-x; значит, точка пересечения этой ветви с y=SQRT(5-x) лежит на прямой y=-x. Имеем систему:
S>

S>y = x^2 - 5
S>y = -x
S>

Вот это да! Я бы эту симметрию в жисть не заметил бы, сколько бы не глядел на графики... Вопрос только один: как доказать симметричность?

Наверняка существует какое-нибудь аналитическое решение, а симметрия в графиках -- это следствие. Cruelty что-то говорил про метод неопределённых коэффициентов, может кто-нибудь его знает?

С уважением,
Olegator

Здравствуйте, rus blood, Вы писали:

RB>Это все понятно и очевидно.

Не могли бы Вы прояснить мне, неведующему, этот метод?

С уважением,
Olegator

Прошу прощения, что поднимаю этот топик. Просто я серьёзно захотел осмыслить решение этой задачи.

Вот до чего дошёл.

Представим получившееся уравнение 4-ой степени

x^4 - 10x^2 + x + 20 = 0 (*)

в виде произведения многочленов 2-й степени:

x^4 - 10x^2 + x + 20 = (a_1x^2 + b_1x + c_1)(a_2x^2 + b_2x + c_2) (**)

После раскрытия скобок получаем:

x^4 - 10x^2 + x + 20 =    a_1a_2x^4 + a_1b_2x^3 + a_1c_2x^2 +
                        + a_2b_1x^3 + b_1b_2x^2 + b_1c_2x +
                        + a_2c_1x^2 + b_2c_1x + c_1c_2

Группируем и выносим x за скобки:

a_1a_2x^4 + (a_1b_2 + a_2b_1)x^3 + (a_1c_2 + b_1b_2 + a_2c_1)x^2 + (b_1c_2 + b_2c_1)x + c_1c_2

Смотря на исходное уравнение (*), получаем систему уравнений:

 --
| a_1a_2 = 1,
| a_1b_2 + a_2b_1 = 0,
< a_1c_2 + b_1b_2 + a_2c_1 = -10, (***)
| b_1c_2 + b_2c_1 = 1,
| c_1c_2 = 20.
 --

Вопросы:

1. Это и есть вышеназванный метод неопределённых коэффициентов?
   
2. Насколько правомочен шаг (**)? Имеется ли какая-нибудь теорема, обобщающая это действие (разложение многочлена на множители)?
   
3. Каким образом решается система уравнений (***)?

Заранее благодарен.

С уважением,
Olegator

Здравствуйте, Olegator, Вы писали:

O>

Это и есть вышеназванный метод неопределённых коэффициентов?
O>

Насколько правомочен шаг (**)? Имеется ли какая-нибудь теорема, обобщающая это действие (разложение многочлена на множители)?

Да, именно это и есть метод неопределенных коэффициентов. Только a1 и a2 можно смело (без ограничения общности) положить равными единице. Тогда у тебя будет 4 уравнения на 4 неизвестных. Их решаешь и получаешь искомое разложение.

Только если не повезет, ты, выразив 3 неизвестных через 4-е, можешь прийти к тому же уравнению 4-й степени относительно этого 4-го.

Так что в общем случае уравнения 4-й степени самое правильное, все-таки, посмотреть в учебнике метод Феррари сведения уравнения 4-й степени к кубическому, решить кубическое по формулам Кардано и восстановить решения исходного уравнения.

А уравнения более высокой степени, как доказал, кажется, еще Галуа, в общем виде в радикалах не решаются.

Здравствуйте, kfmn, Вы писали:

Ну хоть кто-то откликнулся!

K>Только a1 и a2 можно смело (без ограничения общности) положить равными единице.

А на каком основании?

И ещё:

Насколько правомочен шаг (**)? Имеется ли какая-нибудь теорема, обобщающая это действие (разложение многочлена на множители)?

Буду очень благодарен за ответы!

С уважением,
Olegator

Здравствуйте, Olegator, Вы писали:

O>Здравствуйте, kfmn, Вы писали:

O>Ну хоть кто-то откликнулся!

K>>Только a1 и a2 можно смело (без ограничения общности) положить равными единице.

O>А на каком основании?

Так как у нас в уравнении старший коэффициент 1.

O>И ещё:
O>

O>Насколько правомочен шаг (**)? Имеется ли какая-нибудь теорема, обобщающая это действие (разложение многочлена на множители)?

Правомочен.
Любой полином с действительными коэффициентами может быть представлен в виде произведения полиномов с действительными коэффициентами 2 видов:
1) первой степени
2) второй степени с отрицательным дискриминантом

Здравствуйте, DrZubr, Вы писали:

DZ>Правомочен.

Спасибо, где про это можно почитать?

С уважением,
Olegator

Здравствуйте, Olegator, Вы писали:

O>Спасибо, где про это можно почитать?

В курсе МатАна или ГА. Или в школе могли сказать, что стоит поверить на слово.

Здравствуйте, DrZubr, Вы писали:

DZ>В курсе МатАна или ГА. Или в школе могли сказать, что стоит поверить на слово.
Здрасте, в матане этого нет, это надо линал

Здравствуйте, Cruelty, Вы писали:

C>Здравствуйте, DrZubr, Вы писали:

DZ>>Здравствуйте, <Аноним>, Вы писали:

А>>>вообще говоря для уравнений до 4ой степени включительно (к которому сводится и это) есть готовые формулы, но они громоздкие.

DZ>>Серьезно? А можно глянуть?

C>здесь

Рулезз!!!!!! В шпаргалку выпишу себе

Здравствуйте, Shady, Вы писали:

S>Здравствуйте, DrZubr, Вы писали:

DZ>>В курсе МатАна или ГА. Или в школе могли сказать, что стоит поверить на слово.
S>Здрасте, в матане этого нет, это надо линал

Уже не помню — давновато было...
Значит в ГА (у нас это называлось геометрия и алгебра)

Здравствуйте, Shady, Вы писали:

S>Здравствуйте, DrZubr, Вы писали:

DZ>>В курсе МатАна или ГА. Или в школе могли сказать, что стоит поверить на слово.
S>Здрасте, в матане этого нет, это надо линал
Это как это нету... У нас эта теоремка доказывалась как в МАТАНе так и в ГА. Да и в ТФКП была, тока занимала 5 строчек, а 3 страницы
ЗЫ А сейчас я ни одного доказательства и не помню . Даже идеи.