S>Какой то есть уже готовый класс для таких вещей?

Готового не встречал.

Но знаю, что есть пакет NuGet.Core, с помощью которого можно реализовать скачивание пакета с учётом всех зависимостей.

Идея такая: качаем пакет и завистмости в известное место. В сгенерированную сборку добавляем обработчик для события assembly resolve домена. В обработсике ищем и возвращаем требуемую сборку.

Вот тут можно посмотреть пример такой "установки" из нугета.
Это очень старый проект (под .net 4.x) сервера приложений, который умеет устанавливать и запускать приложения из nugget-пакетов. Типа такой docker на минималках
Может найдете что-то полезное для себя по части работы с нугет.

S>Какой то есть уже готовый класс для таких вещей?

Готового не встречал.

Но знаю, что есть пакет NuGet.Core (этот уже deprecated, но есть поновее), с помощью которого можно реализовать скачивание пакета с учётом всех зависимостей.

Идея такая: "исталируем" пакет со всеми зависимостями в известное место.
А в сгенерированную сборку добавляем обработчик для события assembly resolve домена. В обработчике ищем в папке инсталляции пакета требуемую сборку и возвращаем ее.

Вот тут можно посмотреть пример такой "установки" из нугета.
Это тоже сервер приложений, который умеет устанавливать и запускать приложения из нугет-пакетов. Типа такой docker на минималках
Проект тоже очень старый (еще под .net 4.x), ном может найдете что-то полезное для себя по части работы с нугет.