Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:

S_S>Здравствуйте, MaximVK, Вы писали:

S_S>А как на счет таких правдоподобных рассуждений? : Что в математике есть двойственность на тему — бесконечности настоящие или не настоящие.
Не понял про двойственность?
Я знаю, что бесконечности бываю разные и описываются кардинальными числами: счетная, континуум и так далее.
Про нестоящие и ненастоящие я ничего не слышал. Или ты предлагаешь ввести такое разделение?

S_S>Предположительно, все вычисления в рамках настоящих бесконечностей будут совпадать(т.е. непротиворечивы), каким бы способом ни делались расчеты. И хитрые пасы Рамануджана — только допущения про бесконечность.
Выделенное — это сомнительное утверждение. Покажу ниже на примере.

S_S>Сумма Рамануджана ( 1+2+3+4+5...=-1/12 ), выглядит только следствием более простой суммы ряда Гранди:Сумма Рамануджана

S_S>S = 1-1+1-1+1-1...
S_S>1-S = 1-1+1-1...
S_S>S = 1/2
S_S>Ее можно считать 2 способами:

S_S>1) Взять сначала конечное число слагаемых N. Тогда при четном N S=0, при нечетном S=1.
S_S> При вычитании из единицы(1-S) меняется четность количества элементов и меняется результат.
Вот тут уже не понял. Как может меняться четность количества элементов, если их бесконечное число?

S_S> Если устремить N к бесконечности, то по прежнему четность влияет на результат.
S_S> Только есть нестыковки: У бесконечности не может быть четности числа элементов, и еще мы уже по условию приняли что N конечное.
Да, я про это же.

S_S> Сколько этот N не устремляй к бесконечности, оно так и останется конечным сколь угодно большим числом, а ряд нельзя считать бесконечным.
S_S>2) Для настоящей бесконечности вычитание из единицы ничего не меняет и не может быть никаких четностей: 1-S = S
Вот этот момент тоже не понял.

------------------
Хорошо, давай рассмотрим предложенный тобой знакопеременный ряд.

По Абелю и по Чезаро этот ряд сходится к 1/2 (не буду приводить доказательство, но оно при желании легко гуглится).
— Эти методы эквивалентны в том смысле, что если ряд сходится и по Чезаро и по Абелю, то сумма у них будет одинакова.
— Это же верно и для сходящихся рядов. Суммирование сходящегося ряда через обычный метод предела частичных дает такой же результат как и суммирование по Абелю или Чезаро.
— В этом смысле, метод Чезаро и Абеля можно рассматривать как расширение метода предела частичных сумм на ряды.
— Но, насколько я помню, это расширение не является уникальным и вроде как есть ряды, для которых метод Эйлера может дать другой результат (надо проверять, могу врать).
— При этом мы знаем, что для дзета функции Римана существует единственно возможное аналитическое продолжение.

Поэтому первую тему которую можно исследовать — это уникальность продолжения метода предела частичных сумм на знакопеременные ряды. Какие условия этой уникальности? Какие операции над рядами приводят к нарушению уникальности? Что общего в этих операциях?

Рассмотрим теперь "наивные методы":
1. Можно ли получить значение отличное от 1/2 манипулирую рядами вышеописанным способом (S = 1-S):
— Эти манипуляции можно обобщить как линейные преобразования над рядом: сложение, вычитание, умножение на число.
— Не готов привести строгое доказательство, но вроде как получается, что применяя конечное число линейных преобразований к ряду, всегда будет получаться одна вторая.
— Доказать (не очень красиво) можно вроде как от противного.

2. Какие манипуляции могут привести к другим значениям.
— Действительно, можно использовать трюки, которые дадут другое значение
— Сгруппируем попарно 1 и -1: S = (1-1) + (1-1) + (1-1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0
— Сгруппируем чуть иначе: S = 1 + (-1+1) + (-1+1) + (-1+1) + ... = 1 + 0 + 0 + 0 + ... = 1

Наивный вывод: группировка — это запрещенная операция нарушающая уникальность результата. Почему? Я х.з., нужно думать дальше.
Может пора начать гуглить

Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:

S_S>Здравствуйте, MaximVK, Вы писали:

S_S>А как на счет таких правдоподобных рассуждений? : Что в математике есть двойственность на тему — бесконечности настоящие или не настоящие.
Не понял про двойственность?
Я знаю, что бесконечности бываю разные и описываются кардинальными числами: счетная, континуум и так далее.
Про нестоящие и ненастоящие я ничего не слышал. Или ты предлагаешь ввести такое разделение?

S_S>Предположительно, все вычисления в рамках настоящих бесконечностей будут совпадать(т.е. непротиворечивы), каким бы способом ни делались расчеты. И хитрые пасы Рамануджана — только допущения про бесконечность.
Выделенное — это сомнительное утверждение. Покажу ниже на примере.

S_S>Сумма Рамануджана ( 1+2+3+4+5...=-1/12 ), выглядит только следствием более простой суммы ряда Гранди:Сумма Рамануджана

S_S>S = 1-1+1-1+1-1...
S_S>1-S = 1-1+1-1...
S_S>S = 1/2
S_S>Ее можно считать 2 способами:

S_S>1) Взять сначала конечное число слагаемых N. Тогда при четном N S=0, при нечетном S=1.
S_S> При вычитании из единицы(1-S) меняется четность количества элементов и меняется результат.
Вот тут уже не понял. Как может меняться четность количества элементов, если их бесконечное число?

S_S> Если устремить N к бесконечности, то по прежнему четность влияет на результат.
S_S> Только есть нестыковки: У бесконечности не может быть четности числа элементов, и еще мы уже по условию приняли что N конечное.
Да, я про это же.

S_S> Сколько этот N не устремляй к бесконечности, оно так и останется конечным сколь угодно большим числом, а ряд нельзя считать бесконечным.
S_S>2) Для настоящей бесконечности вычитание из единицы ничего не меняет и не может быть никаких четностей: 1-S = S
Вот этот момент тоже не понял.

------------------
Хорошо, давай рассмотрим предложенный тобой знакопеременный ряд.

По Абелю и по Чезаро этот ряд сходится к 1/2 (не буду приводить доказательство, но оно при желании легко гуглится).
— Эти методы эквивалентны в том смысле, что если ряд сходится и по Чезаро и по Абелю, то сумма у них будет одинакова.
— Это же верно и для сходящихся рядов. Суммирование сходящегося ряда через обычный метод предела частичных дает такой же результат как и суммирование по Абелю или Чезаро.
— В этом смысле, метод Чезаро и Абеля можно рассматривать как расширение метода предела частичных сумм на знакопеременные ряды.
— Но, насколько я помню, это расширение не является уникальным и вроде как есть ряды, для которых метод Эйлера может дать другой результат (надо проверять, могу врать).
— При этом мы знаем, что для дзета функции Римана существует единственно возможное аналитическое продолжение.

Поэтому первую тему которую можно исследовать — это уникальность продолжения метода предела частичных сумм на знакопеременные ряды. Какие условия этой уникальности? Какие операции над рядами приводят к нарушению уникальности? Что общего в этих операциях?

Рассмотрим теперь "наивные методы":
1. Можно ли получить значение отличное от 1/2 манипулирую рядами вышеописанным способом (S = 1-S):
— Эти манипуляции можно обобщить как линейные преобразования над рядом: сложение, вычитание, умножение на число.
— Не готов привести строгое доказательство, но вроде как получается, что применяя конечное число линейных преобразований к ряду, всегда будет получаться одна вторая.
— Доказать (не очень красиво) можно вроде как от противного.

2. Какие манипуляции могут привести к другим значениям.
— Действительно, можно использовать трюки, которые дадут другое значение
— Сгруппируем попарно 1 и -1: S = (1-1) + (1-1) + (1-1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0
— Сгруппируем чуть иначе: S = 1 + (-1+1) + (-1+1) + (-1+1) + ... = 1 + 0 + 0 + 0 + ... = 1

Наивный вывод: группировка — это запрещенная операция нарушающая уникальность результата. Почему? Я х.з., нужно думать дальше.
Может пора начать гуглить