Говорят эта сумма работает в квантовой физике (эффект Казимира).
Так вот, с чего я хотел начать. Если я правильно понимаю, пиадические числа можно представить как a(b), где a и b это натуральные из которых a периодически повторяется. Далее, если не путаю, в пиадических чисел ряд 9+90+90+900+9000…=-1 по определению: когда мы берём (9)9 и прибавляем (0)1, получаем (0)0. Я правильно написал?
Далее такой вопрос. Возьмём ряд 1+x+x*x+x*x*x+x*x*x*x... Можно вывести, что при x<1 сумма будет равна 1/(1-x). Из этой формулы как бы получаем 1+2+4+8+16+32...=-1. Т.е. в двоичной системе (1)1=-1.
Я пытаюсь разобраться: можно ли по аналогичной формуле вывести, что (2)2=-1 в троичной системе, (3)3=-1 в четвертичной и так далее? Я что-то совсем не могу вспомнить, как выводится формула 1+x+x*x+x*x*x+x*x*x*x=1/(1-x) для x<1. Понятно только что если x=0.5 – с каждой итерацией становится вдвое меньше расстояние до двух.
"Ты должен сделать добро из зла, потому что его больше не из чего сделать." Р.П. Уоррен
Здравствуйте, Khimik, Вы писали:
K>Сумма Рамануджана это K>1+2+3+4+5...=-1/12
Важно понимать что это не совсем равенство.
K>Говорят эта сумма работает в квантовой физике (эффект Казимира).
И вы говорите
K>Так вот, с чего я хотел начать. Если я правильно понимаю, пиадические числа можно представить как a(b), где a и b это натуральные из которых a периодически повторяется. Далее, если не путаю, в пиадических чисел ряд 9+90+90+900+9000…=-1 по определению: когда мы берём (9)9 и прибавляем (0)1, получаем (0)0. Я правильно написал? K>Далее такой вопрос. Возьмём ряд 1+x+x*x+x*x*x+x*x*x*x... Можно вывести, что при x<1 сумма будет равна 1/(1-x). Из этой формулы как бы получаем 1+2+4+8+16+32...=-1. Т.е. в двоичной системе (1)1=-1.
Нет так нельзя. Sn(x)=(1-x^(n+1))/(1-x) и при |x|<1 этот ряд сходится. А при остальных х можно построить аналитическое продолжение, но с некоторыми но.
K>Я пытаюсь разобраться: можно ли по аналогичной формуле вывести, что (2)2=-1 в троичной системе, (3)3=-1 в четвертичной и так далее? Я что-то совсем не могу вспомнить, как выводится формула 1+x+x*x+x*x*x+x*x*x*x=1/(1-x) для x<1. Понятно только что если x=0.5 – с каждой итерацией становится вдвое меньше расстояние до двух.
Лучше возьмите модульную арифметику и экспериментируйте для начала с ней.
Re[2]: Вывод суммы Рамануджана в пи-адических числах
Здравствуйте, kov_serg, Вы писали:
K>>Сумма Рамануджана это K>>1+2+3+4+5...=-1/12 _>Важно понимать что это не совсем равенство.
А что именно?
Я подумал, что решение очень простое. Возьмём адическое число (9)9 (правильно ли я понимаю что если система счисления десятичная — надо говорить адическое а не пи-адическое?):
9+90+900+9000...=-1
Умножим на 10/9:
10+100+1000+10000...=-10/9
Прибавим 1:
1+10+100+1000+10000...=-1/9
Всё сошлось. Теперь надо вспоминать — как же выводилась изначально формула 1+x+x*x+x*x*x...=1/(1-x)?
"Ты должен сделать добро из зла, потому что его больше не из чего сделать." Р.П. Уоррен
Re[3]: Вывод суммы Рамануджана в пи-адических числах
Здравствуйте, Khimik, Вы писали:
K>Всё сошлось. Теперь надо вспоминать — как же выводилась изначально формула 1+x+x*x+x*x*x...=1/(1-x)?
Очевидно она выводилась.
Пусть X = 1 + x + x*x + x*x*x + ...
Домножим на x: Xx = x + x*x + x*x*x + ...
Прибавим 1: Xx + 1 = 1 + x + x*x + x*x*x + ... = X
Итого, Xx+1 = X.
Или, X(1-x) = 1
Или X = 1/(1-x)
Уйдемте отсюда, Румата! У вас слишком богатые погреба.
Re[4]: Вывод суммы Рамануджана в пи-адических числах
Здравствуйте, Khimik, Вы писали:
K>Точно ли всё так просто?
Для сходящегося ряда — да. K>А то с этими расходящимися рядами (и условно-расходящимися) можно всякое доказать
Вам на это и намекнули:
А при остальных х можно построить аналитическое продолжение, но с некоторыми но.
Суммы Рамануджана работают только в некотором смысле.
Уйдемте отсюда, Румата! У вас слишком богатые погреба.
Здравствуйте, Khimik, Вы писали:
K>Точно ли всё так просто? А то с этими расходящимися рядами (и условно-расходящимися) можно всякое доказать:
K>S=1-1+1-1+1-1... K>1-S=1-1+1-1... K>S=1/2
А действительно ли всякое тут можно доказать? Тут какая-то "параллельная реальность" открывается. Но если она ровно одна. Т.е. если нет других трюков, которые дадут ответ, отличающийся от 1/2. То это единственно правильный ответ.
Этот ответ 1/2, кажется, для настоящих бесконечностей. Это противоречит результату, только для условных бесконечностей: Когда по условию берем конечное число N слагаемых, подсчитываем ответ, потом смотрим, что с ним происходит при росте N (это уже не настоящая бесконечность).
Интересно, а бывают примеры, где настоящая бесконечность(такой трюк как выше) дает один ответ, не настоящая(сумма сходящегося ряда) дает другой ответ, и оба ответа конечные числа?
Есть мнение, что пиадические числа очень похожи на числа в computer science, т.е. в том чем мы занимаемся: и там и там, грубо говоря, 9999=-1. Интересно об этом порассуждать, gyraboo одобрит.
"Ты должен сделать добро из зла, потому что его больше не из чего сделать." Р.П. Уоррен
Re[6]: Вывод суммы Рамануджана в пи-адических числах
Здравствуйте, Sinclair, Вы писали: S>Суммы Рамануджана работают только в некотором смысле.
Рамануджан как раз известен в основном тем, что он нашел некоторые обычно приближенные равенства, на 99% бессмысленные совершенно и нафиг никому не нужные, но самая большая загадка тут в том, что он это делал без калькулятора, повторить то, как он это делал до сих по моему непонятно как и еще он придумал какие-то свои странные велосипеды для создания своих странных равенств. Это наверное самый странный известный мне математик с самыми странными достижениями.
Re[7]: Вывод суммы Рамануджана в пи-адических числах
Здравствуйте, __kot2, Вы писали:
__>Рамануджан как раз известен в основном тем, что он нашел некоторые обычно приближенные равенства, на 99% бессмысленные совершенно и нафиг никому не нужные, но самая большая загадка тут в том, что он это делал без калькулятора, повторить то, как он это делал до сих по моему непонятно как и еще он придумал какие-то свои странные велосипеды для создания своих странных равенств. Это наверное самый странный известный мне математик с самыми странными достижениями.
Кстати, а вот кто-то знает как объяснить почему аналитическое продолжение дзета функции Римана для -1 дает такое же значение и как и пассы Рамануджана с бесконечными рядами. Это как бы намекает, что пассы Рамануджана вполне себе легитимны в определенных рамках и эквиваленты построению Римана. Но объяснить эту легитимность и эквивалентность я для себя так и не смог.
Re[8]: Вывод суммы Рамануджана в пи-адических числах
Здравствуйте, MaximVK, Вы писали:
MVK>... Это как бы намекает, что пассы Рамануджана вполне себе легитимны в определенных рамках и эквиваленты построению Римана. Но объяснить эту легитимность и эквивалентность я для себя так и не смог.
А как на счет таких правдоподобных рассуждений? : Что в математике есть двойственность на тему — бесконечности настоящие или не настоящие.
Предположительно, все вычисления в рамках настоящих бесконечностей будут совпадать(т.е. непротиворечивы), каким бы способом ни делались расчеты. И хитрые пасы Рамануджана — только допущения про бесконечность.
Сумма Рамануджана ( 1+2+3+4+5...=-1/12 ), выглядит только следствием более простой суммы ряда Гранди:Сумма Рамануджана
S = 1-1+1-1+1-1...
1-S = 1-1+1-1...
S = 1/2
Ее можно считать 2 способами:
1) Взять сначала конечное число слагаемых N. Тогда при четном N S=0, при нечетном S=1.
При вычитании из единицы(1-S) меняется четность количества элементов и меняется результат.
Если устремить N к бесконечности, то по прежнему четность влияет на результат.
Только есть нестыковки: У бесконечности не может быть четности числа элементов, и еще мы уже по условию приняли что N конечное.
Сколько этот N не устремляй к бесконечности, оно так и останется конечным сколь угодно большим числом, а ряд нельзя считать бесконечным.
2) Для настоящей бесконечности вычитание из единицы ничего не меняет и не может быть никаких четностей: 1-S = S
______________
Похожие вопросы появляются, если попытаться записать самое близкое к нулю число в десятичной форме:
0.000...01
После запятой должно быть бесконечное число нулей и в конце единица. С одной стороны единица в конце должна быть. С другой стороны ее там быть не может, т.к. у бесконечной последовательности не существует последнего элемента.
Re[9]: Вывод суммы Рамануджана в пи-адических числах
Здравствуйте, Silver_S, Вы писали:
S_S>Здравствуйте, MaximVK, Вы писали:
S_S>А как на счет таких правдоподобных рассуждений? : Что в математике есть двойственность на тему — бесконечности настоящие или не настоящие.
Не понял про двойственность?
Я знаю, что бесконечности бываю разные и описываются кардинальными числами: счетная, континуум и так далее.
Про нестоящие и ненастоящие я ничего не слышал. Или ты предлагаешь ввести такое разделение?
S_S>Предположительно, все вычисления в рамках настоящих бесконечностей будут совпадать(т.е. непротиворечивы), каким бы способом ни делались расчеты. И хитрые пасы Рамануджана — только допущения про бесконечность.
Выделенное — это сомнительное утверждение. Покажу ниже на примере.
S_S>Сумма Рамануджана ( 1+2+3+4+5...=-1/12 ), выглядит только следствием более простой суммы ряда Гранди:Сумма Рамануджана
S_S>S = 1-1+1-1+1-1... S_S>1-S = 1-1+1-1... S_S>S = 1/2 S_S>Ее можно считать 2 способами:
S_S>1) Взять сначала конечное число слагаемых N. Тогда при четном N S=0, при нечетном S=1. S_S> При вычитании из единицы(1-S) меняется четность количества элементов и меняется результат.
Вот тут уже не понял. Как может меняться четность количества элементов, если их бесконечное число?
S_S> Если устремить N к бесконечности, то по прежнему четность влияет на результат. S_S> Только есть нестыковки: У бесконечности не может быть четности числа элементов, и еще мы уже по условию приняли что N конечное.
Да, я про это же.
S_S> Сколько этот N не устремляй к бесконечности, оно так и останется конечным сколь угодно большим числом, а ряд нельзя считать бесконечным. S_S>2) Для настоящей бесконечности вычитание из единицы ничего не меняет и не может быть никаких четностей: 1-S = S
Вот этот момент тоже не понял.
По Абелю и по Чезаро этот ряд сходится к 1/2 (не буду приводить доказательство, но оно при желании легко гуглится).
Полезные факты:
— Эти методы эквивалентны в том смысле, что если ряд сходится и по Чезаро и по Абелю, то сумма у них будет одинакова.
— Это же верно и для сходящихся рядов. Суммирование сходящегося ряда через обычный метод предела частичных дает такой же результат как и суммирование по Абелю или Чезаро.
— В этом смысле, метод Чезаро и Абеля можно рассматривать как расширение метода предела частичных сумм на знакопеременные ряды.
— Но, насколько я помню, это расширение не является уникальным и вроде как есть ряды, для которых метод Эйлера может дать другой результат (надо проверять, могу врать).
— При этом мы знаем, что для дзета функции Римана существует единственно возможное аналитическое продолжение.
Поэтому первую тему которую можно исследовать — это уникальность продолжения метода предела частичных сумм на знакопеременные ряды. Какие условия этой уникальности? Какие операции над рядами приводят к нарушению уникальности? Что общего в этих операциях?
Рассмотрим теперь "наивные методы":
1. Можно ли получить значение отличное от 1/2 манипулирую рядами вышеописанным способом (S = 1-S):
— Эти манипуляции можно обобщить как линейные преобразования над рядом: сложение, вычитание, умножение на число.
— Не готов привести строгое доказательство, но вроде как получается, что применяя конечное число линейных преобразований к ряду, всегда будет получаться одна вторая.
— Доказать (не очень красиво) можно вроде как от противного.
2. Какие манипуляции могут привести к другим значениям.
— Действительно, можно использовать трюки, которые дадут другое значение
— Сгруппируем попарно 1 и -1: S = (1-1) + (1-1) + (1-1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0
— Сгруппируем чуть иначе: S = 1 + (-1+1) + (-1+1) + (-1+1) + ... = 1 + 0 + 0 + 0 + ... = 1
Наивный вывод: группировка — это запрещенная операция нарушающая уникальность результата. Почему? Я х.з., нужно думать дальше.
Может пора начать гуглить
Здравствуйте, MaximVK, Вы писали:
MVK>Про нестоящие и ненастоящие я ничего не слышал. Или ты предлагаешь ввести такое разделение?
Я имел ввиду, что есть разные способы работы с бесконечностями. Когда сначала получают выводы для конечного ряда. Потом говорят — устремим число элементов к бесконечности. Это не совсем настоящая бесконечность, т.к. в рассуждениях могут остаться заложены предположения о четности числа элементов или о том, что есть последний элемент, и т.п. ...
Например, когда интуитивно ожидают что сумма всех натуральных чисел окажется положительная, фактически работают с конечным рядом по-простому.
MVK>2. Какие манипуляции могут привести к другим значениям. MVK>- Действительно, можно использовать трюки, которые дадут другое значение MVK>- Сгруппируем попарно 1 и -1: S = (1-1) + (1-1) + (1-1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0
Если нет критериев — почему здесь так нельзя. Тогда да, облом — придется надеяться на удачу — что в подходящем контексте повезет подобрать подходящий способ по вкусу. Это уже была бы не математика.
Или еще хуже: То что сумма Рамануджана используется для расчета эффекта Казимира — как подгонка под экспериментальные данные для формулы, которая может дать какой угодно ответ, смотря как считать.
